Funzione con due moduli
Studiare la seguente funzione
Note
Evitare errori subito
va interpretato come
e non come il quadrato del logaritmo che invece si sarebbe scritto così:
Ricordate che davanti al modulo |x-3| nella funzione c’è un meno… evitate di invertire in malo modo i segni quando toglierete i moduli.
Intro
Vediamo subito che la funzione ha due moduli uno dentro l’altro. Molto spesso ci blocchiamo davanti a queste cose ed iniziamo a pensare che non abbiamo mai fatto un esercizio così, che sul libro non c’era, che non passeremo l’esame…. La testa parte e perdiamo tempo.
Come togliamo i moduli? Sono addirittura due!
Modulo interno
Iniziamo da quello interno, ovvero da |x-3|. Sappiamo che il contenuto del modulo può essere sia positivo sia negativo; quindi per toglierlo dovremo porre semplicemente delle condizioni.
- |x-3| diventa x-3 se
infatti 
(grandezza positiva) se - |x-3| diventa –x+3 se
infatti 
(ovvero 
) se
Quindi abbiamo
se
se
Ora mi direte circa le condizioni che ho appena riportato: “Ma non era il contrario?” FATE ATTENZIONE ALLA PRESENZA DEL SEGNO MENO PRIMA DEL MODULO |x-3| NEL TESTO DELLA FUNZIONE.
Modulo esterno
Rimane un solo modulo per ognuna delle due funzioni sopra riportate…
…Adesso toglieremo anche quelli e vedrete che sarà un’operazione molto più semplice di quanto crediate: Usiamo la logica (ALTRIMENTI QUESTO TUTORIAL NON AVREBBE SENSO).
Prima funzione
Se la prima delle due funzioni che abbiamo ottenuto
viene considerata per
per x < -2 V x > 3 essendo la funzione in questione (ovvero la prima) considerata solo per valori
Segue che scriveremo semplicemente
per
Seconda funzione
Diversa è la questione per la seconda funzione ossia per
e che viene considerata per
per
V
Facendo parte questo modulo di una funzione che viene considerata per valori di
sia per valori di
Prima di concludere effettuo un ulteriore chiarimento perché già mi immagino la domanda:”Perché adesso dobbiamo studiare il modulo tra quei valori? Come li ha ricavati?” Benissimo: si tratta semplicemente degli intervalli che si deducono studiando il modulo
Segue che scriveremo semplicemente
per
perché l’argomento del modulo è negativo in questo intervallo.
per
perché l’argomento del modulo è positivo in questo intervallo.
Per verificare quanto appena scritto si procede così:
Questa è la funzione valida per
E questo è il modulo che vogliamo togliere:
Risolvendo la relativa disequazione di secondo grado otteniamo
per
per
Si tratta semplicemente di ricavarsi le radici della relativa equazione di secondo grado e, come al solito, per valori esterni la funzione è positiva mentre per quelli interni è negativa… RIVEDETE ASSOLUTAMENTE LE REGOLE DELLE DISEQUAZIONI. Ci vuole davvero poco. Può essere scocciante, ma se non lo fate perderete senz'altro più tempo : )
Dominio e particolari punti
Intanto la funzione NON ESISTE in x = 2 perché se l’argomento del logaritmo si azzera per x = 2 e sappiamo (o dovremmo sapere bene) che se l’argomento del logaritmo vale ZERO, il logaritmo NON ESISTE e con esso la funzione nella quale è contentuto.
La funzione invece vale ZERO se alla x sostituiamo il valore 3. Infatti f(3)=0
f(0) = 12 + log 4 (circa 13)
f(-4) = 2log6 (circa 3,6)
I valori appena citati sono semplicemente presi dagli intervalli che caratterizzano la funzione iniziale dopo che gli sono stati tolti i 2 moduli. Togliendo i moduli si devono per forza di cose porre delle condizioni per sapere come si comporta una funzione e dove è positiva o meno.
Naturalmente noi andremo a vedere cosa succede in quei particolari punti per iniziare a tracciare il grafico. Tutto qua.
Queste operazioni richiedono che voi non impariate a memoria, ma capiate perché si fanno certe cose… Certo lo studio di una funzione è difficile, è vero. Purtroppo lo è ancor di più se lo fate a memoria pensando di ripetere le operazioni in modo meccanico. Dagli esercizi di allenamento prendete le logiche…
Asintoti
Verticale
Per essere presente l'asintoto verticale, il limite della funzione, per x che tende ad n, deve andare a più infinito o meno infinito. Nel nostro caso nel punto x=2 la funzione non esiste ma per x che tende al valore 2 ci accorgiamo che il limite della funzione vale meno infinito. Quindi c'è asintoto verticale.
Asintoto Verticale
Orizzontale
Non vi è asintoto orizzontale in quanto il limite della funzione, per x che tende ad infinito, va ad infinito. L'asintoto orizzontale, per esistere, necessita che il limite della funzione, per x che tende ad infinito, venga un numero finito. In basso trovi i link alle sintesi presenti sul Blog.
Non c’è Asintoto Orizzontale
Obliquo
Non vi è asintoto obliquo. I limiti da calcolare per trovare il valore di "m" e di "q", vanno a infinito e non ad un numero finito. Se ne deduce che l'asintoto obliquo non può esistere in quanto l'equazione lineare ad esso associata non può essere ricavata.
Non c’è Asintoto Obliquo, inutile calcolare q
Limiti nei punti d'interesse
Possiamo già iniziare a tracciare i primi punti sulla base dei limiti appena calcolati. Tuttavia, anche se si può già dedurre l'andamento della funzione, andremo a studiarci la derivata prima e la derivata seconda per conoscere rispettivamente: crescenza-decrescenza e convessità-concavità.
Ricapitolando
Nel primo intervallo
La funzione diventa
Nel secondo intervallo
La funzione diventa
Nel terzo intervallo
La funzione diventa
Andiamo a calcolare derivate prime e seconde
Crescenza Decrescenza
Nel primo intervallo
Ottenuta la derivata prima possiamo subito vedere che nell'intervallo che a noi interessa ossia per
Nel secondo intervallo
I passaggi qui sono leggermente più articolati, ragione per cui ve li mostriamo passo passo:
Innanzitutto risolviamo la disequazione fratta:
ovvero
Al NUMERATORE abbiamo una normale equazione di secondo grado da risolvere con la solita formula che immagino conosciate benissimo ormai da tempo. I due risultati x1 e x2 (che si chiamano radici) sono rispettivamente circa 0,85 e circa 2,35. Ovviamente essendo il primo termine dell'equazione di secondo grado -2x^2 un valore negativo, allora il risultato compreso tra 0,85 e 2,35 sarà positivo, mentre per valori esterni il risultato sarà negativo.VEDI GRAFICO IN BASSO.
RIPASSATE BENE LE DISEQUAZIONI, LE DISEQUAZIONI DI 2° GRADO, LE DISEQUAZIONI FRATTE E QUELLE CON IL MODULO.
Il DENOMINATORE è semplicemente maggiore di zero per x maggiore di due.
Pertanto ne segue che possiamo tracciare lo schema della positività negatività della funzione e vedere gli intervalli di crescenza decrescenza tra -4 e +3:
Nello schema vedete riportati 5 punti:
-4 e + 3 sono presenti quali estremi dell’intervallo considerato.
0,85 e 2,35 sono presenti perché sono le radici dell’equazione di 2° grado del numeratore.
2 è presente perché è il valore che interessa lo studio del denominatore.
Ora sappiamo che:
nell'intervallo che va da -4 a -0,85 la funzione è crescente
nell'intervallo che va da -0,85 a 2 la funzione è decrescente
nell'intervallo che va da 2 a 2,35 la funzione è crescente
nell'intervallo che va da 2,35 a 3 la funzione è decrescente
Dati fondamentali per ricavare il grafico finale (anche se ci sono calcolatrici apposite per controllare la veridicità dei conti).
Nel terzo intervallo
Ottenuta anche questa derivata prima possiamo subito vedere che nell'intervallo
Ricapitolando
Abbiamo calcolato il dominio (ATTENZIONE VA FATTO PRIMA DI TOGLIERE I MODULI)
Abbiamo eliminato il primo modulo ponendo le opportune condizioni
Abbiamo eliminato il secondo modulo andandolo a studiare negli intervalli imposti dalle precedenti condizioni
Abbiamo calcolato le 3 derivate prime nei 3 principali intervalli
Abbiamo osservato dove le derivate sono maggiori o minori di zero e di conseguenza dove le funzioni di partenza sono crescenti o decrescenti.
Convessità Concavità
Nel primo intervallo
La derivata seconda vale? Verificate voi stessi, è un conto molto semplice
Nel secondo intervallo
La derivata seconda vale? Verificate voi stessi, è un conto molto semplice
Nel terzo intervallo
La derivata seconda vale? Verificate voi stessi, è un conto molto semplice
Ricorda che
nell'intervallo in cui la derivata seconda è maggiore di zero, la funzione è CONVESSA
nell'intervallo in cui la derivata seconda è minore di zero, la funzione è CONCAVA
nei punti in cui la derivata seconda si annula allora vi è un FLESSO
Grafico finale
Link utili
MatematicaMENTE Speciale funzioni matematiche -5-
MatematicaMENTE Speciale funzioni matematiche -4-
MatematicaMENTE Speciale funzioni matematiche -3-
MatematicaMENTE Speciale funzioni matematiche -2-
MatematicaMENTE Speciale funzioni matematiche -1-
